近场非圆信号参数快速估计算法

宋嘉奇 陶海红

宋嘉奇, 陶海红. 近场非圆信号参数快速估计算法[J]. 雷达学报, 待出版. doi:  10.12000/JR20053
引用本文: 宋嘉奇, 陶海红. 近场非圆信号参数快速估计算法[J]. 雷达学报, 待出版. doi:  10.12000/JR20053
SONG Jiaqi and TAO Haihong. A fast parameter estimation algorithm for Near-field Non-Circular signals[J]. Journal of Radars, in press. doi:  10.12000/JR20053
Citation: SONG Jiaqi and TAO Haihong. A fast parameter estimation algorithm for Near-field Non-Circular signals[J]. Journal of Radars, in press. doi:  10.12000/JR20053

近场非圆信号参数快速估计算法

doi: 10.12000/JR20053
基金项目: 中央军委科技委创新项目(**-H863-**-XJ-001-***-02),国家自然科学基金(61971355),装备预研领域基金(61405180201,61405180203)
详细信息
    作者简介:

    宋嘉奇(1992–),2013年于西安电子科技大学获工学学士学位,现为西安电子科技大学雷达信号处理国家重点实验室博士研究生,主要研究方向为阵列信号处理。E-mail: theo_song@163.com

    陶海红(1976–),女,西安电子科技大学教授,博士生导师,主要研究领域为雷达信号处理与检测、高速实时信号处理、阵列信号处理。E-mail: hhtao@xidian.edu.cn

    通讯作者:

    陶海红 hhtao@xidian.edu.cn

  • 责任主编:魏玺章 Corresponding Editor: WEI Xizhang
  • 中图分类号: TN911.7

A Fast Parameter Estimation Algorithm for Near-field Non-Circular Signals

Funds: The Project of Science and Technology of Commission of the Central Military Commission (**-H863-**-XJ-001-***-02), The National Natural Science Foundation of China (61971355), The Funds for Equipment Pre-research (61405180201, 61405180203)
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  • 摘要: 该文基于对称的均匀线阵提出了一种近场非圆信号参数的快速估计算法,算法基于信号的非圆特性以及阵列的对称性对近场导向矢量进行解耦,并利用多项式求根取代传统的谱峰搜索对近场源的角度及距离参数进行快速估计。基于给定的阵列结构,建立非圆信号参数估计的多项式数学模型,然后对其进行求根即可获得近场信号源位置参数。所提算法采用多项式求根的方法有效地降低了运算复杂度,同时利用信号的非圆特性提高了参数估计的自由度。通过性能分析和计算机仿真实验可以看出该算法可以分辨更多的近场非圆信号,并且参数估计性能有所提升,更接近于近场源参数估计的克拉美罗界。
  • 图  1  近场参数估计示意图

    Figure  1.  Schematic diagram of near-field parameter estimation

    图  2  RMSE-信噪比曲线图

    Figure  2.  RMSE-signal to noise ratio curve

    图  3  RMSE-快拍数曲线图

    Figure  3.  RMSE- snapshots curve

    图  4  RMSE-快拍数曲线图

    Figure  4.  RMSE- snapshots curve

    表  1  矩阵M中的元素

    Table  1.   Elements of matrix M

    元素位置表达式元素位置表达式
    ${m_{11}}(z)$$\displaystyle\sum_i {\displaystyle\sum_j { {{L} }({ {{u} }_i},{ {{u} }_j}){z^{ { {{u} }_i} - { {{u} }_j} } } } }$${m_{12}}(z)$$\displaystyle\sum_i {\displaystyle\sum_j { {{L} }({ {{u} }_i},{ {{v} }_j}){z^{ { {{u} }_i} - { {{v} }_j} } } } }$
    ${m_{13}}(z)$$\displaystyle\sum_i { {{S} }({ {{u} }_i},{ {{u} }_i}){z^{2{ {{u} }_i} - 4} } + } \underbrace {\displaystyle\sum\nolimits_i {\displaystyle\sum\nolimits_j { {{S} }({ {{u} }_i},{ {{u} }_j})} } }_{i \ne j}$${m_{14}}(z)$$\displaystyle\sum_i {\displaystyle\sum_j { {{S} }({ {{u} }_i},{ {{v} }_j})} } {z^{ { {{u} }_i} - { {{v} }_j} } }$
    ${m_{21}}(z)$$\displaystyle\sum_i {\displaystyle\sum_j { {{L} }({ {{v} }_i},{ {{u} }_j}){z^{ { {{v} }_i} - { {{u} }_j} } } } }$${m_{22}}(z)$$\displaystyle\sum_i {\displaystyle\sum_j { {{L} }({ {{v} }_i},{ {{v} }_j}){z^{ { {{v} }_i} - { {{v} }_j} } } } }$
    ${m_{23}}(z)$$\displaystyle\sum_i {\displaystyle\sum_j { {{S} }({ {{v} }_i},{ {{u} }_j}){z^{ - { {{v} }_i} + { {{u} }_j} } } } }$${m_{24}}(z)$$\displaystyle\sum_i {\displaystyle\sum_j { {{S} }({ {{v} }_i},{ {{v} }_j}){z^{ { {{v} }_i} - { {{v} }_j} } } } }$
    ${m_{31}}(z)$$\displaystyle\sum_i { {{Y} }({ {{u} }_i},{ {{u} }_i}){z^{ - 2{ {{u} }_i} + 4} } + } \underbrace {\displaystyle\sum\nolimits_i {\displaystyle\sum\nolimits_j { {{Y} }({ {{u} }_i},{ {{u} }_j})} } }_{i \ne j}$${m_{32}}(z)$$\displaystyle\sum_i {\displaystyle\sum_j { {{Y} }({ {{u} }_i},{ {{v} }_j}){z^{ - { {{u} }_i} + { {{v} }_j} } } } }$
    ${m_{33}}(z)$$\displaystyle\sum_i {\displaystyle\sum_j { {{W} }({ {{u} }_i},{ {{u} }_j}){z^{ - { {{u} }_i} + { {{u} }_j} } } } }$${m_{34}}(z)$$\displaystyle\sum_i {\displaystyle\sum_j { {{W} }({ {{u} }_i},{ {{v} }_j}){z^{ - { {{u} }_i} + { {{v} }_j} } } } }$
    ${m_{41}}(z)$$\displaystyle\sum_i {\displaystyle\sum_j { {{Y} }({ {{v} }_i},{ {{u} }_j})} } {z^{ { {{v} }_i} - { {{u} }_j} } }$${m_{42}}(z)$$\displaystyle\sum_i {\displaystyle\sum_j { {{Y} }({ {{v} }_i},{ {{v} }_j}){z^{ { {{v} }_i} - { {{v} }_j} } } } }$
    ${m_{43}}(z)$$\displaystyle\sum_i {\displaystyle\sum_j { {{W} }({ {{v} }_i},{ {{u} }_j}){z^{ - { {{v} }_i} + { {{u} }_j} } } } }$${m_{44}}(z)$$\displaystyle\sum_i {\displaystyle\sum_j { {{W} }({ {{v} }_i},{ {{v} }_j}){z^{ { {{v} }_i} - { {{v} }_j} } } } }$
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    表  2  算法运算复杂度比较

    Table  2.   Algorithm complexity comparison

    算法统计量矩阵特征值分解谱峰搜索
    GESPRIT$O(2{N^2}/L)$$8{N^3}/3$$K{N^2}/{\Delta _r}({R_{\max }} - {R_{\min }}) + 360{N^2}/{\Delta _\theta }$
    NCGESPRIT$O(4{N^2}/L)$$32{N^3}/3$$4K{N^2}/{\Delta _r}({R_{\max }} - {R_{\min }}) + 720{N^2}/{\Delta _\theta }$
    本文算法$O(4{N^2}/L)$$32{N^3}/3$
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出版历程
  • 收稿日期:  2020-05-02
  • 修回日期:  2020-07-17
  • 网络出版日期:  2020-07-27

近场非圆信号参数快速估计算法

doi: 10.12000/JR20053
    基金项目:  中央军委科技委创新项目(**-H863-**-XJ-001-***-02),国家自然科学基金(61971355),装备预研领域基金(61405180201,61405180203)
    作者简介:

    宋嘉奇(1992–),2013年于西安电子科技大学获工学学士学位,现为西安电子科技大学雷达信号处理国家重点实验室博士研究生,主要研究方向为阵列信号处理。E-mail: theo_song@163.com

    陶海红(1976–),女,西安电子科技大学教授,博士生导师,主要研究领域为雷达信号处理与检测、高速实时信号处理、阵列信号处理。E-mail: hhtao@xidian.edu.cn

    通讯作者: 陶海红 hhtao@xidian.edu.cn
  • 责任主编:魏玺章 Corresponding Editor: WEI Xizhang
  • 中图分类号: TN911.7

摘要: 该文基于对称的均匀线阵提出了一种近场非圆信号参数的快速估计算法,算法基于信号的非圆特性以及阵列的对称性对近场导向矢量进行解耦,并利用多项式求根取代传统的谱峰搜索对近场源的角度及距离参数进行快速估计。基于给定的阵列结构,建立非圆信号参数估计的多项式数学模型,然后对其进行求根即可获得近场信号源位置参数。所提算法采用多项式求根的方法有效地降低了运算复杂度,同时利用信号的非圆特性提高了参数估计的自由度。通过性能分析和计算机仿真实验可以看出该算法可以分辨更多的近场非圆信号,并且参数估计性能有所提升,更接近于近场源参数估计的克拉美罗界。

注释:
1)  责任主编:魏玺章 Corresponding Editor: WEI Xizhang

English Abstract

宋嘉奇, 陶海红. 近场非圆信号参数快速估计算法[J]. 雷达学报, 待出版. doi:  10.12000/JR20053
引用本文: 宋嘉奇, 陶海红. 近场非圆信号参数快速估计算法[J]. 雷达学报, 待出版. doi:  10.12000/JR20053
SONG Jiaqi and TAO Haihong. A fast parameter estimation algorithm for Near-field Non-Circular signals[J]. Journal of Radars, in press. doi:  10.12000/JR20053
Citation: SONG Jiaqi and TAO Haihong. A fast parameter estimation algorithm for Near-field Non-Circular signals[J]. Journal of Radars, in press. doi:  10.12000/JR20053
    • 根据天线手册[1],在天线阵列中心到${\rm{2}}{D^2}/\lambda $的空间范围内的信号源被认为是近场源,其中$D$是天线孔径,$\lambda $为工作波长。大多数参数估计问题均假设信号源位于天线远场区域,而在很多实际应用中,存在感兴趣的信号位于天线阵列近场区域这一情况,此时应用传统远场的参数估计算法会导致性能下降,甚至完全失效。

      随着阵列信号处理技术的不断发展,近场源的参数估计问题越来越受到广大学者的关注。文献[2]提出了一种角度-距离的两维MUSIC(MUltiple SIgnal Classification)方法,有效实现了近场源的超分辨参数估计,但两维谱峰搜索的运算量巨大。文献[3]引入了4阶累积量矩阵,并基于ESPRIT(Estimation of Signal Parameter via Rotational Invariance Technique)算法提出了总体最小二乘的ESPRIT-like算法,然而构建累积量矩阵同样需要耗费巨大的运算量。此外,文献[4]提出了一种经典的基于2阶统计量的GESPRIT(Generalized ESPRIT)近场源定位算法。但此算法存在一半的阵列孔径损失,因此估计精度有所降低并且可估计信源的个数减少了一半[5]

      非圆信号广泛应用于雷达、通信等领域,如BPSK(Binary Phase Shift Keying), PAM(Pulse Amplitude Modulation)以及ASK(Amplitude Shift Keying)等。近年来,大量参数估计算法采用非圆信号以提高估计性能[6, 7],但将非圆信号应用到近场源定位问题中的相关工作还比较少。文献[8]利用非圆信号和对称线阵的性质,提出了一种实值非圆降秩算法(Real-valued Non-circular Rank Reduction, RVNCRARE)。文献[9]将多维搜索问题解耦成两个一维搜索问题,依次估计近场源的角度和距离参数,有效避免了多维搜索。文献[10]提出了一种非圆GESPRIT(Non-Circular Generalized ESPRIT, NCGESPRIT)算法,首先利用信号非圆特性构造增广的阵列数据矩阵,其次利用GESPRIT方法估计出信号的到达角度,最后通过对距离谱函数的一维搜索得到信源的距离估计。该算法只需构造2阶统计量矩阵和一维搜索,运算复杂度低,同时避免了GESPRIT算法带来的孔径损失。西北工业大学的况梅东等人[11]在此基础上提出了针对部分极化的非圆近场参数估计算法。宁波大学的陈华等人[12,13]利用对称均匀线阵以及非圆信号特性提出了两种远近场混合源的非圆参数估计新方法。本文基于降秩定理和多项式求根方法,对近场目标的角度和距离参数分别进行估计,有效降低了构造高阶统计量和多维参数搜索所带来的计算复杂度。通过与GESPRIT算法和NCGESPRIT算法的性能对比,证明所提算法增加了可分辨信号源的个数,参数估计性能较好,且运算复杂度较低。

    • 假设在近场区域存在$K$个独立窄带非圆信号同时照射到空间阵列上,空间阵列如图1所示,由$N = 2M + 1$个全向天线阵元组成,各个阵元的位置坐标可以表示为$[ - Md, - (M - 1)d, ··· ,0, ··· , (M - 1)d,Md]$,其中 $d$为阵元间距。

      图  1  近场参数估计示意图

      Figure 1.  Schematic diagram of near-field parameter estimation

      不失一般性,选取对称阵列的中心阵元(0号阵元)为参考阵元,则$t$时刻第$m$个阵元的接收信号${x_m}(t)$可以表示为

      $$ \begin{split} {x_m}\left( t \right) =\,& \sum\limits_{k = 1}^K {{s_k}\left( t \right){{\rm{e}} ^{{\rm{j}} {\tau _{mk}}}} + {n_m}\left( t \right)} ,\\ & m = - M, - M + 1, ··· ,M - 1,M \end{split} $$ (1)

      其中,${s_k}(t)$表示第$k$个入射信号,${n_m}(t)$为第$m$个阵元在$t$时刻的噪声,${\tau _{mk}}$表示${s_k}(t)$在第$m$个阵元相对于参考阵元的传播时延,具体的传播时延表达式为

      $$ {\tau _{mk}} = \frac{{2\pi {r_k}}}{\lambda }\left( {\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{md}}{{{r_k}}}} \right)}^2} - \frac{{2md\sin {\theta _k}}}{{{r_k}}}} - 1} \right) $$ (2)

      其中,${\theta _k}$${r_k}$${s_k}(t)$的角度和距离参数。由于传播时延表达式过于复杂,不便于计算,根据菲涅尔近似[2],传播时延可以近似为

      $$ {\tau _{mk}} \approx - \frac{{2\pi md}}{\lambda }\sin {\theta _k} + \frac{{\pi {m^2}{d^2}}}{{\lambda {r_k}}}{\cos ^2}{\theta _k} = m{\gamma _k} + {m^2}{\phi _k} $$ (3)

      其中,

      $$ \qquad \quad {\gamma _k} = - \frac{{2\pi d}}{\lambda }\sin {\theta _k} $$ (4)
      $$ \qquad \quad {\gamma _k} = - \frac{{2\pi d}}{\lambda }\sin {\theta _k} $$ (5)

      因此,式(1)的接收信号${x_m}(t)$可以简化为

      $${x_m}\left( t \right) = \sum\limits_{k = 1}^K {{s_k}\left( t \right){{\rm{e}}^{{\rm{j}} \left( {m{\gamma _k} + {m^2}{\phi _k}} \right)}}} + {n_m}\left( t \right)$$ (6)

      将天线阵列接收信号的数据改写成矩阵形式,可以表示为

      $${{x}}\left( t \right) = {{As}}\left( t \right) + {{n}}\left( t \right)$$ (7)

      其中,${{x}}(t) = [{x_{ - M}}(t),{x_{ - M + 1}}(t), ··· , {x_0}(t), ··· , {x_{M - 1}} (t),{x_M}(t)]^{\rm{T}}$为阵列接收数据矩阵,上标${\rm{T}} $表示对矩阵取转置。${{n}}(t) = [{n_{ - M}}(t),{n_{ - M + 1}}(t), ··· ,{n_0}(t), ··· , {n_{M - 1}}(t),{n_M}(t)]^{\rm{T}}$为加性噪声矩阵。${\bf{A}}$表示阵列的导向矢量矩阵,其详细形式为

      $$ {{A}} = \left[ {{{a}}\left( {{\theta _1},{r_1}} \right),{{a}}\left( {{\theta _2},{r_2}} \right), ··· ,{{a}}\left( {{\theta _K},{r_K}} \right)} \right] $$ (8)

      近场导向矢量${{a}}({\theta _k},{r_k}) = [{a_{k, - M}},{a_{k, - M + 1}}, ··· , {a_{k,0}}, ··· ,{a_{k,M - 1}},{a_{k,M}}]^{\rm{T}}$,其中${a_{k,m}} = {{\rm{e}}^{{\rm{j}}(m{\gamma _k} + {m^2}{\phi _k})}}$${\bf{s}}(t) = {[{s_1}(t),{s_2}(t), ··· ,{s_K}(t)]^{\rm{T}} }$表示近场非圆信号矩阵,根据入射信号的非圆特性,信号矩阵${\bf{s}}(t)$可表示为

      $${{s}}\left( t \right) = {{\varPsi}} {{{s}}_0}\left( t \right)$$ (9)

      其中,${{{s}}_0}(t) = {[{s_{0,1}}(t),{s_{0,2}}(t), ··· ,{s_{0,K}}(t)]^{\rm{T}} } \in {\mathbb{R}^{K \times 1}}$, ${s_{0,k}}(t)$${s_k}(t)$零初相的实信号。对角矩阵${{\varPsi}} = {\rm{diag}} {\rm{\{ }}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\psi _1}}},{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\psi _2}}}, ··· ,{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\psi _K}}}\}$, ${\psi _k}$为信号${s_k}(t)$的初相。

    • 为了充分利用信号的非圆特性,对阵列接收的多快拍数据进行扩展处理,将阵列输出矩阵与其共轭进行拼接,得到增广的阵列接收数据矩阵。

      $$ \begin{split} {{Y}}\left( t \right) \,& = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{x}}(t)} \\ {{{{x}}^*}(t)} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{A}} \\ {{{{A}}^*}{{{\varPsi}} ^*}} \end{array}} \right]{{{s}}_0}\left( t \right) + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{N}}(t)} \\ {{{{N}}^*}(t)} \end{array}} \right]\\ & = {\bar {{A}}}{{{s}}_0}\left( t \right) + {\bar{{ N}}}(t)\\[-10pt] \end{split}$$ (10)

      其中,上标*表示对矩阵取共轭,${\bar {{A}}}{\rm{ = }}{[ {{A}}\ \ {{{{A}}^{*}}{{{\varPsi }}^{*}}}]^{\rm{T}} }$,表示扩展的导向矢量矩阵${\bar {{A}}} = [{\bar {{a}}}({\theta _1},{r_1},{\psi _1}),{\bar {{a}}}({\theta _2},{r_2}, {\psi _2}), ··· ,{\bar {{a}}}({\theta _K},{r_K},{\psi _K})]$, ${\bar{{ N}}}(t){\rm{ = }}{[\begin{array}{*{20}{c}} {{{N}}(t)}&{{{{N}}^{*}}} \end{array}(t)]^{\rm{T}} }$

      $$ {\bar {{a}}}(\theta ,r,\psi ) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{a}}(\theta ,r)} \\ {{{{a}}^*}(\theta ,r){{\rm{e}}^{ - {\rm{j}} \psi }}} \end{array}} \right] $$ (11)

      此时,扩展的接收信号协方差矩阵可以写成${{R}} = E\left\{ {{{Y}}\left( t \right){{{Y}}^{\rm{H}} }\left( t \right)} \right\}$,对协方差矩阵${{R}}$做特征值分解,可以将协方差矩阵分解成信号子空间与噪声子空间。

      $${{R}} = {{{U}}_S}{{{\varLambda }}_S}{{U}}_S^{\rm{H}} + {{{U}}_N}{{{\varLambda }}_N}{{U}}_N^{\rm{H}} $$ (12)

      其中,${{{U}}_S}$${{{U}}_N}$分别为特征向量张成的信号子空间和噪声子空间,${{\Lambda }_s}$$K$个主特征值构成的对角矩阵,${{\Lambda }_N}$为剩余$2N - K$个次特征值构成的对角矩阵。传统子空间算法的思路是在角度-距离两维参数域$(\theta ,r)$中进行谱峰搜索,搜索下列谱函数的$K$个最小值来得到信号源的位置参数。

      $$P(\theta ,r,\psi ) = {{\bar {{a}}}^{\rm{H}} }(\theta ,r,\psi ){{{U}}_N}{{U}}_N^{\rm{H}} {\bar {{a}}}(\theta ,r,\psi )$$ (13)

      但高维谱峰搜索的运算复杂度大,为了有效降低算法运算复杂度,本文提出了基于多项式求根的近场非圆信号源快速参数估计算法,对扩展的导向矢量矩阵进行解耦,然后利用多项式求根方法依次对信号源的角度和距离进行估计。

    • 首先,对近场信号源的角度进行估计,根据阵列的对称性对导向矢量矩阵进行解耦,可得

      $$ \begin{split} {{a}}(\theta ,r) =\,& \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{e}}^{{\rm{j}} M\gamma }}}&{}&{}&{} \\ {}&{{{\rm{e}}^{{\rm{j}} (M - 1)\gamma }}}&{}&{} \\ {}&{}& \ddots &{} \\ {}&{}&{}&1 \\ {}&{}& {\mathinner{\mkern2mu\raise1pt\hbox{.}\mkern2mu \raise4pt\hbox{.}\mkern2mu\raise7pt\hbox{.}\mkern1mu}} &{} \\ {}&{{{\rm{e}}^{ - {\rm{j}} (M - 1)\gamma }}}&{}&{} \\ {{{\rm{e}}^{ - {\rm{j}} M\gamma }}}&{}&{}&{} \end{array}} \right]}_{{{V}}\left( \gamma \right)}\\ & \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{e}}^{{\rm{j}} {M^2}\phi }}} \\ {{{\rm{e}}^{{\rm{j}} {{(M - 1)}^2}\phi }}} \\ \vdots \\ 1 \end{array}} \right]}_{{{h}}\left( \phi \right)} \end{split} $$ (14)

      故扩展的近场导向矢量矩阵可以改写成为${\bar {{a}}}(\theta ,r) = \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{V}}(\gamma )}&{{0}} \\ {{0}}&{{{{V}}^*}(\gamma )} \end{array}} \right]}_{{\bar {{V}}}}\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{h}}(\phi )} \\ {{{{h}}^*}(\phi ){{\rm{e}}^{ - {\rm{j}} \psi }}} \end{array}} \right]}_{{\bar{{ h}}}}$。由于信号的导向矢量${\bar {{a}}}(\theta ,r)$与噪声子空间之间存在正交性,因此式(15)成立。

      $$ {{\bar {{a}}}^{\rm{H}} }({\theta _k},{r_k}){{{U}}_N}{{U}}_N^{\rm{H}} {\bar {{a}}}({\theta _k},{r_k}) = 0,\quad k = 1,2, ··· ,K $$ (15)

      因此${{\bar{{ h}}}^{\rm{H}} }(\theta ,r){{\bar {{V}}}^{\rm{H}} }(\theta ){{{U}}_N}{{U}}_N^{\rm{H}} {\bar {{V}}}(\theta ){\bar{{ h}}}(\theta ,r) = 0$成立,令${{C}}(\theta ) = {{\bar {{V}}}^{\rm{H}} }(\theta ){{{U}}_N}{{U}}_N^{\rm{H}} {\bar {{V}}}(\theta )$,可以看到${{C}}(\theta )$仅与角度参数$\theta $有关。由于${\bar{{ h}}}(\theta ,r) \ne {{0}}$恒成立,根据降秩定理[14],则上式成立的条件为信号源的角度满足$\theta = {\theta _k},\;k = 1,2, ··· ,K$。而当$\theta = {\theta _k}$时,${{C}}(\theta )$降秩,即$\det ({{C}}(\theta )) = 0$,则角度$\theta $的估计可以转化为求多项式$\det ({{C}}(\theta )) = 0$$K$个根。

      矩阵$C(\theta )$的维数取决于阵元个数,若阵元个数$N = 2M + 1$,则矩阵${{C}}(\theta )$$2(M + 1) \times 2(M + 1)$维。以三阵元线阵为例,此时$z = {{\rm{e}}^{{\rm{j}} \gamma }}$, $\gamma = - 2\pi d\sin \theta {\rm{/}}\lambda $

      $${{V}}(\theta ) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} z \\ {} \\ {{z^{ - 1}}} \end{array}{\rm{ }}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ 1 \\ {} \end{array}} \right]$$ (16)

      由于${{{U}}_N}$的矩阵维数为$(2N \times (2N - K))$,令${{{U}}_{N1}} = {{{U}}_N}(1:N,:)$, ${{{U}}_{N2}} = {{{U}}_N}(N + 1:2N,:)$。则

      $$ \begin{split} {{{U}}_N}{{U}}_N^{\rm{H}} \,& = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{U}}_{N1}}{{U}}_{N1}^{\rm{H}} }&{{{{U}}_{N1}}{{U}}_{N2}^{\rm{H}} } \\ {{{{U}}_{N2}}{{U}}_{N1}^{\rm{H}} }&{{{{U}}_{N2}}{{U}}_{N2}^{\rm{H}} } \end{array}} \right] \\ & = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{A}}&{{B}} \\ {{{{B}}^{\rm{H}} }}&{{{{A}}^*}} \end{array}} \right]_{2N \times 2N}} \end{split} $$ (17)

      由于$ {\bar {{V}}}(\theta ) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{V}}(\theta )}&{{0}} \\ {{0}}&{{{{V}}^*}(\theta )} \end{array}} \right]$,因此

      $$ \begin{split} {{M}} \,& = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{V}}^{\rm{H}} }(\theta ){{AV}}(\theta )}&{{{{V}}^{\rm{H}} }(\theta ){{B}}{{{V}}^*}(\theta )} \\ {{{{V}}^{\rm{T}} }(\theta ){{{B}}^{\rm{H}} }{{V}}(\theta )}&{{{{V}}^{\rm{T}} }(\theta ){{{A}}^*}{{{V}}^*}(\theta )} \end{array}} \right] \\ & = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{L}}&{{S}} \\ {{Y}}&{{W}} \end{array}} \right] \end{split} $$ (18)

      矩阵${{M}}$中的元素可以一一列出,如表1所示。其中${{u}} = [1,3]$, ${{v}} = [2]$

      表 1  矩阵M中的元素

      Table 1.  Elements of matrix M

      元素位置表达式元素位置表达式
      ${m_{11}}(z)$$\displaystyle\sum_i {\displaystyle\sum_j { {{L} }({ {{u} }_i},{ {{u} }_j}){z^{ { {{u} }_i} - { {{u} }_j} } } } }$${m_{12}}(z)$$\displaystyle\sum_i {\displaystyle\sum_j { {{L} }({ {{u} }_i},{ {{v} }_j}){z^{ { {{u} }_i} - { {{v} }_j} } } } }$
      ${m_{13}}(z)$$\displaystyle\sum_i { {{S} }({ {{u} }_i},{ {{u} }_i}){z^{2{ {{u} }_i} - 4} } + } \underbrace {\displaystyle\sum\nolimits_i {\displaystyle\sum\nolimits_j { {{S} }({ {{u} }_i},{ {{u} }_j})} } }_{i \ne j}$${m_{14}}(z)$$\displaystyle\sum_i {\displaystyle\sum_j { {{S} }({ {{u} }_i},{ {{v} }_j})} } {z^{ { {{u} }_i} - { {{v} }_j} } }$
      ${m_{21}}(z)$$\displaystyle\sum_i {\displaystyle\sum_j { {{L} }({ {{v} }_i},{ {{u} }_j}){z^{ { {{v} }_i} - { {{u} }_j} } } } }$${m_{22}}(z)$$\displaystyle\sum_i {\displaystyle\sum_j { {{L} }({ {{v} }_i},{ {{v} }_j}){z^{ { {{v} }_i} - { {{v} }_j} } } } }$
      ${m_{23}}(z)$$\displaystyle\sum_i {\displaystyle\sum_j { {{S} }({ {{v} }_i},{ {{u} }_j}){z^{ - { {{v} }_i} + { {{u} }_j} } } } }$${m_{24}}(z)$$\displaystyle\sum_i {\displaystyle\sum_j { {{S} }({ {{v} }_i},{ {{v} }_j}){z^{ { {{v} }_i} - { {{v} }_j} } } } }$
      ${m_{31}}(z)$$\displaystyle\sum_i { {{Y} }({ {{u} }_i},{ {{u} }_i}){z^{ - 2{ {{u} }_i} + 4} } + } \underbrace {\displaystyle\sum\nolimits_i {\displaystyle\sum\nolimits_j { {{Y} }({ {{u} }_i},{ {{u} }_j})} } }_{i \ne j}$${m_{32}}(z)$$\displaystyle\sum_i {\displaystyle\sum_j { {{Y} }({ {{u} }_i},{ {{v} }_j}){z^{ - { {{u} }_i} + { {{v} }_j} } } } }$
      ${m_{33}}(z)$$\displaystyle\sum_i {\displaystyle\sum_j { {{W} }({ {{u} }_i},{ {{u} }_j}){z^{ - { {{u} }_i} + { {{u} }_j} } } } }$${m_{34}}(z)$$\displaystyle\sum_i {\displaystyle\sum_j { {{W} }({ {{u} }_i},{ {{v} }_j}){z^{ - { {{u} }_i} + { {{v} }_j} } } } }$
      ${m_{41}}(z)$$\displaystyle\sum_i {\displaystyle\sum_j { {{Y} }({ {{v} }_i},{ {{u} }_j})} } {z^{ { {{v} }_i} - { {{u} }_j} } }$${m_{42}}(z)$$\displaystyle\sum_i {\displaystyle\sum_j { {{Y} }({ {{v} }_i},{ {{v} }_j}){z^{ { {{v} }_i} - { {{v} }_j} } } } }$
      ${m_{43}}(z)$$\displaystyle\sum_i {\displaystyle\sum_j { {{W} }({ {{v} }_i},{ {{u} }_j}){z^{ - { {{v} }_i} + { {{u} }_j} } } } }$${m_{44}}(z)$$\displaystyle\sum_i {\displaystyle\sum_j { {{W} }({ {{v} }_i},{ {{v} }_j}){z^{ { {{v} }_i} - { {{v} }_j} } } } }$

      根据矩阵行列式的定义,${\rm{det}}({{M}}(z)) = \displaystyle\sum\nolimits_{l = 1}^{24} {{( - 1)}^{{k_l}}} {m_{1{a_l}}}(z){m_{2{b_l}}}(z){m_{3{c_l}}}(z){m_{4{d_l}}}(z)$,其中$\{ {a_l},{b_l}, {c_l},{d_l}\}$$\{ 1,2,3,4\} $的排列,当这个排列为奇排列时${k_l} = 1$,排列为偶排列时${k_l} = 2$。结合表1,矩阵${{M}}$的行列式表达式可以写成

      $${\rm{det}}({{M}}(z)) = \sum\limits_{l = 1}^{24} {{{( - 1)}^{{k_l}}}} \sum\limits_{n = 1}^N {{c_{{l_n}}}{z^n}} $$ (19)

      求得${\bf{M}}$矩阵的行列式表达式后,对多项式$\det ({\bf{C}}(z)) = 0$进行求解,寻找单位圆内最靠近单位圆的$K$个点,即为所求的$z$的值${\hat z_k}$,从而根据式(20)反推出近场源的角度估计值:

      $${\hat \theta _k} = \arcsin \{ - \arg ({\hat z_k}) \cdot \lambda /2\pi d\} $$ (20)

      当阵元数增多时,矩阵行列式的表达式可以通过矩阵分块来求得。

      $$ \left| {{M}} \right| = \left| {{G}} \right|\left| {{{{G}}^*} - {{{T}}^{\rm{H}} }{{{G}}^{ - 1}}{{T}}} \right| $$ (21)
      $$ \begin{split} {{{G}}^{ - 1}} \,& = \frac{1}{{\left| {{G}} \right|}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{G}}_{22}}}&{ - {{{G}}_{12}}} \\ { - {{{G}}_{21}}}&{{{{G}}_{11}}} \end{array}} \right] \\ & = \frac{1}{{({{{G}}_{11}}{{{G}}_{22}} - {{{G}}_{12}}{{{G}}_{21}})}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{G}}_{22}}}&{ - {{{G}}_{12}}} \\ { - {{{G}}_{21}}}&{{{{G}}_{11}}} \end{array}} \right]\!\!\!\! \end{split} $$ (22)

      除此之外,也可以利用MATLAB软件的符号函数syms来计算。

    • 根据信号的非圆特性,近场的导向矢量矩阵可以解耦为

      $${\bar {{a}}}(\theta ,r,\psi ) = \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{a}}(\theta ,r)}&{{0}} \\ {{0}}&{{{{a}}^*}(\theta ,r)} \end{array}} \right]}_{{\bar{{H}}}}\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ {{{\rm{e}}^{ - {\rm{j}} \psi }}} \end{array}} \right]}_{{q}}$$ (23)

      将式(23)代入式(15)可得${{{q}}^{\rm{H}} }(\psi ){{\bar{{H}}}^{\rm{H}} }(\theta ,r) {{{U}}_N}{{U}}_N^{\rm{H}} {\bar{{H}}}(\theta ,r){{q}}(\psi ) = 0$,与3.1节类似,由于${{q}}(\psi ) \ne {{0}}$恒成立,则上式成立的条件为$\theta = {\theta _k}$$r = {r_k},\;k = 1,2, ··· ,K$。阵元数为3的情况下,导向矢量矩阵${{a}}$$N \times 1$维,则

      $${{a}}(\theta ,r) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{e}}^{{\rm{j}} \gamma + {\rm{j}} \phi }}} \\ 1 \\ {{{\rm{e}}^{ - {\rm{j}} \gamma + {\rm{j}} \phi }}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {zf} \\ 1 \\ {{z^{ - 1}}f} \end{array}} \right]$$ (24)

      其中,$z = {{\rm{e}}^{{\rm{j}}\gamma }}$, $f = {{\rm{e}}^{{\rm{j}}\phi }}$。由于${\bar{{H}}} =$$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{a}}(\theta ,r)}&{{0}} \\ {{0}}&{{{{a}}^*}(\theta ,r)} \end{array}} \right]$,则

      $$ \begin{split} {{Q}}(\theta ,r) \,& = {{\bar{{H}}}^{\rm{H}} }(\theta ,r){{{U}}_N}{{U}}_N^{\rm{H}} {\bar{{H}}}(\theta ,r) \\ & = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{a}}^{\rm{H}} }{{Aa}}}&{{{{a}}^{\rm{H}} }{{B}}{{{a}}^*}} \\ {{{{a}}^{\rm{T}} }{{{B}}^{\rm{H}} }{{a}}}&{{{{a}}^{\rm{T}} }{{C}}{{{a}}^*}} \end{array}} \right]_{2 \times 2}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} h&u \\ {{u^*}}&y \end{array}} \right]\!\!\! \end{split} $$ (25)

      其中,

      $$ \begin{split} h =\,& {{{a}}^{\rm{H}} }{{Aa}}{\rm{ = }}{{{A}}_{11}} + {{{A}}_{21}}zf + {{{A}}_{31}}{z^2} + {{{A}}_{12}}{z^{ - 1}}{f^{ - 1}} \\ &+ {{{A}}_{22}} + {{{A}}_{32}}z{f^{ - 1}} + {{{A}}_{13}}{z^{ - 2}} + {{{A}}_{23}}{z^{ - 1}}f + {{{A}}_{33}} \end{split} $$ (26)
      $$ \begin{split} u =\,& {{{a}}^{\rm{H}} }{{B}}{{{a}}^*} = {{{B}}_{11}}{z^{ - 2}}{f^{ - 2}} + \left( {{{{B}}_{21}} + {{{B}}_{12}}} \right){z^{ - 1}}{f^{ - 1}}\\ & + \left( {{{{B}}_{31}} + {{{B}}_{13}}} \right){f^{ - 2}} + {{{B}}_{22}} + \left( {{{{B}}_{32}} + {{{B}}_{23}}} \right)z{f^{ - 1}} \\ & + {{{B}}_{33}}{z^2}{f^{ - 2}}\\[-10pt] \end{split} $$ (27)
      $$ \begin{split} y =\,& {{{a}}^{\rm{T}} }{{C}}{{{a}}^*} = {{{C}}_{11}} + {{{C}}_{21}}{z^{ - 1}}{f^{ - 1}} + {{{C}}_{31}}{z^{ - 2}} + {{{C}}_{12}}zf \\ & + {{{C}}_{22}} + {{{C}}_{32}}{z^{ - 1}}f + {{{C}}_{13}}{z^2} + {{{C}}_{23}}z{f^{ - 1}} + {{{C}}_{33}} \end{split} $$ (28)

      由于矩阵${{Q}}$为2阶矩阵,其行列式的表达式很容易得出,利用多项式求根的方法找出最靠近单位圆的K个估计值${\hat f_k}$,再根据下式反推出信号源的距离参数。

      $$ {r_k} = \frac{{\pi {d^2}}}{{\lambda \arg ({{\hat f}_m})}}{\cos ^2}{\theta _k} $$ (29)
    • (1) 获取接收数据协方差矩阵${{R}}$

      (2) 对${{R}}$矩阵进行特征值分解;

      (3) 构造${{M}}$矩阵,根据式(19)求出$\det({{M}}({\rm{z}}))$的表达式;

      (4) 求解$\det ({{C}}(z)) = 0$,选取单位圆内靠近单位圆的$K$${\hat z_k}$,根据由${\hat z_k}$反推出${\hat \theta _k}$

      (5) 构造${{Q}}$矩阵,根据式(25)求出$\det({{Q}}(z))$的表达式;

      (6) 求解$\det ({{Q}}(z)) = 0$,根据式(29)结合已经估计出的${\hat \theta _k}$,估计距离参数${\hat r_k}$

    • 本节主要讨论GESPRIT算法[4]、NCGESPRIT算法[10]以及本文所提算法可分辨信号源的最大数目。为便于分析,假设3种算法均采用阵元数为$N = 2M + 1$的均匀线阵。由于噪声子空间至少需要一个特征向量所张成,且GESPRIT算法会损失$1/2$的阵列孔径,故GESPRIT算法最多可分辨$M$个信号源;NCGESPRIT算法与本文所提算法利用了信号的非圆特性,扩展了信号子空间,没有阵列孔径损失,而需要张成噪声子空间的特征向量不变,因此可分辨最多$2M$个信号。

    • 在本节的计算复杂度分析中,只讨论运算量耗费较大的几部分,其中包括统计量矩阵的构建、特征值分解以及谱峰搜索。假设角度和距离的搜索范围分别为$\theta \!\in\! [ - {90^ \circ },{90^ \circ }]$$r \in [0.62{({D^3}/\lambda )^{1/2}},2{D^2}/\lambda ]$,其中搜索步长为${\Delta _\theta }$${\Delta _r}$。阵列的阵元数目为N,快拍数为L。GESPRIT算法估计信号源的角度和距离参数需要构建两个$N \times N$的2阶累积量矩阵,进行两次特征值分解,以及两次谱搜索。NCGESPRIT算法则需要构建一个$2N \times 2N$的2阶累积量矩阵,进行一次特征值分解和两次谱搜索。本算法构建的是一个$2N \times 2N$的2阶实值累积量矩阵,也需要进行一次特征值分解,无需谱峰搜索。表2详细给出了3种算法各种运算所需的运算量。

      表 2  算法运算复杂度比较

      Table 2.  Algorithm complexity comparison

      算法统计量矩阵特征值分解谱峰搜索
      GESPRIT$O(2{N^2}/L)$$8{N^3}/3$$K{N^2}/{\Delta _r}({R_{\max }} - {R_{\min }}) + 360{N^2}/{\Delta _\theta }$
      NCGESPRIT$O(4{N^2}/L)$$32{N^3}/3$$4K{N^2}/{\Delta _r}({R_{\max }} - {R_{\min }}) + 720{N^2}/{\Delta _\theta }$
      本文算法$O(4{N^2}/L)$$32{N^3}/3$

      表2可以看出,所提算法虽然在构造统计量矩阵与特征值分解两部分运算量略高于GESPRIT算法,但本文算法无需谱峰搜索,有效降低了算法的运算复杂度,而NCGESPRIT算法所需的运算复杂度最高。

    • 将未知参量写成矢量记作${{\eta }} = {[{{{\theta }}^{\rm{T}} }\;{{{r}}^{\rm{T}} }\;{{{\rho }}^{\rm{T}} }\;\sigma _n^2]^{\rm{T}} }$。其中,${{\theta}} = {[{\theta _1},{\theta _2}, ··· ,{\theta _K}]^{\rm{T}} }$是DOA参数矢量,${{r}} = [{r_1}, {r_2}, ··· , {r_K}]^{\rm{T}}$是距离参数矢量,

      $$ \begin{split} {{\rho }} =\,& [ \left( {\rm{Re}} \left( {{{\left[ {{{{R}}_s}} \right]}_{i,j}}} \right),{\rm{Im}}\left( {{{\left[ {{{{R}}_s}} \right]}_{i,j}}} \right),{\rm{Re}} \left( {{{\left[ {{{{{R'}}}_s}} \right]}_{i,j}}} \right), \right. \\ & \left.{\rm{Im}} \left( {{{\left[ {{{{{R'}}}_s}} \right]}_{i,j}}} \right) \right)_{1 \le j < i \le K}, \left( {{\left[ {{{{R}}_s}} \right]}_{i,i}},{\rm{Re}} \left( {{{\left[ {{{{{R'}}}_s}} \right]}_{i,i}}} \right), \right. \\ & \left.\left. {\rm{Im}} \left( {{{\left[ {{{{{R'}}}_s}} \right]}_{i,i}}} \right) \right)_{1 \le i \le K} \right]^{\rm{T}} \\[-18pt] \end{split} $$ (30)

      根据近场非圆信号模型以及非圆复高斯信号的假设,费舍尔信息矩阵具有表达形式为[15]

      $$ {{\rm{FIM}}_{k,l}} = \frac{T}{2}{\rm{TRACE}}\left( {\frac{{\partial {{{R}}_{{Y}}}}}{{\partial {\eta _k}}}{{R}}_{{Y}}^{ - 1}\frac{{\partial {{{R}}_{{Y}}}}}{{\partial {\eta _l}}}{{R}}_{{Y}}^{ - 1}} \right) $$ (31)

      其中,${{{R}}_{{Y}}}$${{Y}}(t)$的协方差矩阵。由于本文仅关心信源的位置参数${{\theta }}$r,因此根据文献[15]的式(10)可得

      $$ \begin{split} &\left( {{{R}}_{{Y}}^{ - T/2} \otimes {{R}}_{{Y}}^{ - 1/2}} \right)\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{\rm{d}}{{\gamma }}}}{{{\rm{d}}{{{\theta }}^T}}}}&{\dfrac{{{\rm{d}}{{\gamma }}}}{{{\rm{d}}{{{r}}^T}}}}&\Bigr| {} & {\dfrac{{{\rm{d}}{{\gamma }}}}{{{\rm{d}}{{{\rho }}^T}}}}&{\dfrac{{{\rm{d}}{{\gamma }}}}{{{\rm{d}}\sigma }}} \end{array}} \right] \\ & \triangleq \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{G}}&\left| {} \right. & {{\varDelta }} \end{array}} \right]\\[-10pt] \end{split} $$ (32)

      对于非圆信号,文献[15]的式(15)由式(33)替换

      $$ \begin{split} &{{{R}}_s} = \left[ {{{{c}}_1},{{{c}}_2}, ··· ,{{{c}}_K}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{c}}_1^{\rm{H}} } \\ {{{c}}_2^{\rm{H}} } \\ \vdots \\ {{{c}}_K^{\rm{H}} } \end{array}} \right],\\ & {{{R'}}_s} = \left[ {{{{{c'}}}_1},{{{{c'}}}_2}, ··· ,{{{{c'}}}_K}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{c'}}_1^{\rm{T}} } \\ {{{c'}}_2^{\rm{T}} } \\ \vdots \\ {{{c'}}_K^{\rm{T}} } \end{array}} \right] \end{split} $$ (33)

      相应地,可以继续推导出

      $$ \qquad\qquad\qquad\qquad \frac{{{\rm{d}}{{{R}}_{{Y}}}}}{{{\rm{d}}{\theta _k}}} = {{D}}_{{\theta _k}}^{}{{C}}_k^{\rm{H}} {{\tilde{{ A}}}^{\rm{H}} } + {\tilde{{ AC}}}_k^H{{D}}_{{\theta _k}}^{\rm{H}} $$ (34)
      $$ \qquad\qquad \qquad\qquad \frac{{{\rm{d}}{{{R}}_{{Y}}}}}{{{\rm{d}}{r_k}}} = {{D}}_{{r_k}}^{}{{C}}_k^{\rm{H}} {{\tilde{{ A}}}^{\rm{H}} } + {\tilde{{ AC}}}_k^{}{{D}}_{{r_k}}^{\rm{H}} $$ (35)

      其中,${\tilde{{ A}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{A}}&{{0}} \\ {{0}}&{{{{A}}^*}} \end{array}} \right]$, ${{D}}_{{\theta _k}}^{} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{d}}_{{\theta _k}}}}&{{0}} \\ {{0}}&{{{d}}_{{\theta _k}}^*} \end{array}} \right)$, ${{D}}_{{r_k}}^{} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{d}}_{{r_k}}}}&{{0}} \\ {{0}}&{{{d}}_{{r_k}}^*} \end{array}} \right)$, ${{{d}}_{{\theta _k}}} = \dfrac{{\partial {{a}}\left( {{\theta _k},{r_k}} \right)}}{{\partial {\theta _k}}}$, ${{{d}}_{{r_k}}} = \dfrac{{\partial {{a}}\left( {{\theta _k},{r_k}} \right)}}{{\partial {r_k}}}$, ${{C}}_k^{} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{c}}_k}}&{{{{{c'}}}_k}} \\ {{{c'}}_k^*}&{{{c}}_k^*} \end{array}} \right)$

      注意到,CRB矩阵可以分割成${{C}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{C}}_{{{\theta \theta }}}^{ - 1}}&{{{C}}_{{{\theta r}}}^{ - 1}} \\ {{{C}}_{{{r\theta }}}^{ - 1}}&{{{C}}_{{{rr}}}^{ - 1}} \end{array}} \right]^{ - 1}}$,由文献[15]的式(30)可得

      $$ \frac{1}{T}{\left[ {{{C}}_{{{\theta \theta }}}^{ - 1}} \right]_{k,l}} = {\rm{Re}} \left[ {{\rm{Trace}} \left( {{{R}}_{{Y}}^{ - 1/2}{\tilde{{ A}}}{{{C}}_k}{{D}}_{{\theta _k}}^{\rm{H}} {{R}}_{{Y}}^{ - 1/2}{{\varPi }}_{{{R}}_{{Y}}^{ - 1/2}{\tilde{{ A}}}}^ \bot {{R}}_{{Y}}^{ - 1/2}{{D}}_{{\theta _l}}^{}{{C}}_l^{\rm{H}} {{{\tilde{{ A}}}}^{\rm{H}} }{{R}}_{{Y}}^{ - 1/2}} \right)} \right] $$ (36)
      $$\frac{1}{T}{\left[ {{{C}}_{{{\theta r}}}^{ - 1}} \right]_{k,l}} = {\rm{Re}} \left[ {{\rm{Trace}} \left( {{{R}}_{{Y}}^{ - 1/2}{\tilde{{ A}}}{{{C}}_k}{{D}}_{{\theta _k}}^{\rm{H}} {{R}}_{{Y}}^{ - 1/2}{{\varPi }}_{{{R}}_{{Y}}^{ - 1/2}{\tilde{{ A}}}}^ \bot {{R}}_{{Y}}^{ - 1/2}{{D}}_{{r_l}}^{}{{C}}_l^{\rm{H}} {{{\tilde{{ A}}}}^{\rm{H}} }{{R}}_{{Y}}^{ - 1/2}} \right)} \right]$$ (37)
      $$\frac{1}{T}{\left[ {{{C}}_{{{r\theta }}}^{ - 1}} \right]_{k,l}} = {\rm{Re}} \left[ {{\rm{Trace}} \left( {{{R}}_{{Y}}^{ - 1/2}{\tilde{{ A}}}{{{C}}_k}{{D}}_{{r_k}}^{\rm{H}} {{R}}_{{Y}}^{ - 1/2}{{\varPi }}_{{{R}}_{{Y}}^{ - 1/2}{\tilde{{ A}}}}^ \bot {{R}}_{{Y}}^{ - 1/2}{{D}}_{{\theta _l}}^{}{{C}}_l^H{{{\tilde{{ A}}}}^{\rm{H}} }{{R}}_{{Y}}^{ - 1/2}} \right)} \right]$$ (38)
      $$ \frac{1}{T}{\left[ {{{C}}_{{{rr}}}^{ - 1}} \right]_{k,l}} = {\rm{Re}} \left[ {{\rm{Trace}} \left( {{{R}}_{{Y}}^{ - 1/2}{\tilde{{ A}}}{{{C}}_k}{{D}}_{{r_k}}^{\rm{H}} {{R}}_{{Y}}^{ - 1/2}{{\varPi }}_{{{R}}_{{Y}}^{ - 1/2}{\tilde{{ A}}}}^ \bot {{R}}_{{Y}}^{ - 1/2}{{D}}_{{r_l}}^{}{{C}}_l^{\rm{H}} {{{\tilde{{ A}}}}^{\rm{H}} }{{R}}_{{Y}}^{ - 1/2}} \right)} \right] $$ (39)

      鉴于等式${{R}}_{{Y}}^{ - 1/2}{{\varPi }}_{{{R}}_{{Y}}^{ - 1/2}{\tilde{{ A}}}}^ \bot {{R}}_{{Y}}^{ - 1/2} = \left( {1/\sigma _n^2} \right){{\varPi }}_{{\tilde{{ A}}}}^ \bot = 1/\sigma _n^2\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\varPi }}_{{A}}^ \bot }&{{0}} \\ {{0}}&{{{\varPi }}_{{{{A}}^*}}^ \bot } \end{array}} \right)$,将式(36)到式(39)进行组合并化简,可以得到最终的近场非圆信号参数估计CRB矩阵的表达式

      $${{C}}_d^{{\rm{NC}}} = \frac{{\sigma _n^2}}{{2T}}{\left\{ {{\rm{Re}} \left[ {\left( {{{{D}}^{\rm{H}} }{{\varPi }}_{{A}}^ \bot {{D}}} \right) \odot \left( {{{M}} \otimes {{\left( {\left[ {{{{R}}_s}{{{A}}^H},{{{{R'}}}_s}{{{A}}^{\rm{T}} }} \right]{{R}}_{{Y}}^{ - 1}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{A}}{{{R}}_s}} \\ {{{{A}}^*}{{R'}}_s^*} \end{array}} \right]} \right)}^{\rm{T}} }} \right)} \right]} \right\}^{ - 1}}$$ (40)

      其中,${{D}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{D}}_{{\theta }}}}&{{{{D}}_{{r}}}} \end{array}} \right]$, ${{M}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1 \\ 1&1 \end{array}} \right]$

    • 为了验证本文所提算法的有效性及参数估计性能,将其与GESPRIT算法[4]以及NCGESPRIT算法[10]进行实验仿真对比。在下列仿真实验中,假设天线阵列是由7个各向同性阵元($M = 3$)组成的对称均匀线阵,阵元间距$d = \lambda /4$。信源入射到阵列的信号均为等功率、统计独立的BPSK信号。参数估计性能通过均方根误差来衡量,均方根误差的表达式为

      $$ {\rm{RMSE}} = \sqrt {\frac{1}{{200}}\sum\limits_{n = 1}^{200} {{{({{\hat y}_{n,k}} - {y_k})}^2}} } $$ (41)

      其中,${y_k}$表示信号源的角度参数${\theta _k}$或距离参数${r_k}$${\hat y_{n,k}}$表示第$n$次试验中本算法对${y_k}$的估计值,总的蒙特卡洛试验次数为200。

    • 仿真实验1主要研究信噪比对参数估计性能的影响。假设信号源位于$( - {30^ \circ },2\lambda )$, $( - {10^ \circ },3\lambda )$, $({20^ \circ },4\lambda )$,快拍数为200。信噪比以步长5 dB从0 dB到40 dB逐渐增加。图2展示的是DOA和距离估计的均方根误差随信噪比变化的曲线,同时给出了近场非圆信号参数估计的CRB。显然可以看出,由于利用了信号的非圆信息,所提算法与NCGESPRIT的DOA估计性能几乎一致,距离估计性能略优于非圆GESPRIT,且两者均能很好地趋近CRB。另外,所提算法与NCGESPRIT的性能均明显优于传统的GESPRIT算法。

      图  2  RMSE-信噪比曲线图

      Figure 2.  RMSE-signal to noise ratio curve

    • 仿真实验2主要研究快拍数对参数估计性能的影响。信号源参数与仿真实验1相同,信噪比固定为20 dB,快拍数从10到1000变化。3种算法的估计性能及CRB随快拍数的变化曲线图如图3所示。可以看出,随着快拍数的增加,角度和距离的估计性能逐渐提高,本文所提算法的RMSE曲线更靠近CRB,说明。此外,由于本文所提算法与NCGESPRIT算法充分利用了信号的非圆特性,阵列的虚拟孔径增大,其参数估计性能明显优于传统的GESPRIT算法,且RMSE曲线能够很好地趋近CRB。

      图  3  RMSE-快拍数曲线图

      Figure 3.  RMSE- snapshots curve

    • 仿真实验3中,对3种算法的运算复杂度进行比较。假设近场区域仅存在一个信号源,信噪比为20 dB,角度与距离的搜索步长分别为1°和$0.01\lambda $图4为算法运行100次的平均时间随阵元个数变化的曲线(CPU:酷睿i5 2.4 GHz,内存:8 G)。可以看出,阵元数少的时候,所提算法与GESPRIT运算量相当,随着阵元数的增加,本算法的运算复杂度略高于GESPRIT算法,但始终低于NCGESPRIT算法。这是由于所提算法和NCGESPRIT算法构造的扩展协方差矩阵的维数是GESPRIT算法的两倍,因此阵元数增多时所提算法的运算复杂度略高于传统GESPRIT算法。同时,由于本文所提算法采用了多项式求根技术,有效避免了谱搜索,因此运算复杂度较之于NCGESPRIT相比计算复杂度更低。

      图  4  RMSE-快拍数曲线图

      Figure 4.  RMSE- snapshots curve

    • 本文基于对称的均匀线阵提出了一种新的近场非圆信号的快速估计算法。通过对近场阵列的多维参数解耦与多项式求根方法,近场源的DOA和距离参数依次估计得出。本算法避免了高阶统计量的计算与谱峰搜索,有效地降低了运算量,并利用非圆信号提升了参数估计的自由度。通过仿真实验结果验证可得本算法能够在提升参数估计精度的同时将运算复杂度保持在较低水平,同时可检测信号源数目也得到提升。

参考文献 (15)

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